Что такое математический анализ


Как понять математический анализ?

У меня непростые отношения с матанализом: с одной стороны он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой — агонию математического образования.

Математический анализ связывает различные темы в элегантной, но довольно сложной для ума манере. Ближайшая аналогия, которая приходит мне на ум, — Дарвиновская теория эволюции: стоит ее понять, и весь мир видится с позиции выживания. Вы понимаете, почему лекарства привели к резистентным микробам (выживает наиболее приспособленный). Вы понимаете, почему сахар и жир сладкие на вкус (вкус стимулирует потребление высококалорийных продуктов в условиях дефицита резервов организма). И все эти моменты складываются в единую, логическую картину.

Матанализ таким же образом проливает свет на всю систему математики. Не кажется ли вам, что все эти формулы как-то связаны?

Так и есть. Но большинство из нас изучают эти формулы независимо друг от друга. Математический анализ позволяет начать с «длина окружности = 2 * π * r» и вывести остальные формулы для вычисления площади круга, сферы и даже объема шара — древним грекам очень бы пригодился подобный подход.

К сожалению, матанализ олицетворяет собой все трудности в изучении математики. Большинство уроков объясняются на натянутых, неправдоподобных примерах, заумных доказательствах и банальном заучивании, которое напрочь убивает интуицию.

Так действительно не должно происходить.

Математика, искусство и идеи

Кое-что я понял еще со школы: математика — не самая сложная часть математики; самое тяжелое — мотивация к ее освоению. Особенно, умение не терять энтузиазм, несмотря на:

‘Плач математика’ [pdf] — отличное эссе на эту тему, которое вызвало бурный резонанс среди многих прочитавших его:

«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано — у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».

Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?

Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):

«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» —Вильям Шекспир, Гамлет

Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.

Математика и поэзия — это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы — это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.

Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.

Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?

Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов, видеоуроков и 20-минуток в помощь.

Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно — я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.

Формальный математический язык — это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.

Но матанализ — это сложно!

Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.

Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ — это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».

Так о чем же матанализ?

Некоторые определяют матанализ как «область математики, которая изучает пределы, дифференцирование, интегрирование функций с одной или более переменных». Это определение верно, но оно совсем не полезно для новичков.

Вот мой ход: Матанализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

Используя матанализ, мы можем спросить самые разные вопросы:

Алгебра и матанализ решают задачи вместе: матанализ находит новые уравнения, а алгебра их решает. Как эволюция, матанализ расширяет ваше понимание того, как работает матушка-природа.

Пример, пожалуйста

Представим, что мы знаем уравнение длины окружности (2 * π * r), и нам нужно найти площадь. С чего начнем?

Представьте, что заполненный диск круга — это как набор матрешек.

Тут есть два способа нарисовать этот диск:

Количество «пространства» (площадь) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? И сколько пространства занимает кольцо?

Самое большое кольцо имеет радиус «r», и длина окружности кольца вычисляется как 2 * π * r. По мере того, как кольца уменьшаются, окружность также становится меньше, но всё равно сохраняется соотношение 2 * π * текущий радиус. Последнее кольцо больше похоже на булавочную головку, и длину окружности уже не вычислишь.

А теперь начинается самое интересное. Давайте раскрутим эти кольца и выровняем их. Что произойдет?

Ух ты! Общая площадь колец = площадь треугольника = площадь круга!

(Изображение из Википедии)

Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск — это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.

Немного о примерах

Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.

Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали — вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.

Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)

Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.

Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».

Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?

Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте. Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти. Какие объяснения лучше помогут новичкам?

Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.

(P.S: Один любезный читатель создал анимированное слайд-шоу powerpoint, которое помогает презентовать эту идею более наглядно (лучше посмотреть ее в PowerPoint, там будут видны анимации). Спасибо!)

Перевод статьи «A Gentle Introduction To Learning Calculus»

zero2hero.org

Математический анализ учебник

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.Г.Мысливец

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рекомендовано НМС по математике и механике УМО университетов РФ в качестве учебного пособия

Красноярск 2004

УДК 517.5 ББК 22.161 М 952

Рецензенты: зав. кафедрой прикладной математики КГТУ, профессор М.В.Носков; зав. кафедрой ВЭПОМ КГТУ, профессор В.В.Слабко

Мысливец С.Г.

М 952 Математический анализ: Учеб. пособие для экон. специальностей /С.Г.Мысливец; Краснояр. гос. ун-т.-Красноярск, 2004.- 276 с.

ISBN 5-7638-0491-0

Предназначено для студентов первого и второго курсов экономического факультета Красноярского госуниверситета. Содержит изложение курса математического анализа. Основные понятия и теоремы даются с доказательствами. Рассмотрено большое количество примеров и задач, способствующих усвоению материала.

ББК 22.161

c

° С.Г.Мысливец, 2004

c

° Красноярский госуни-

ISBN 5-7638-0491-0

верситет, 2004

Оглавление

Предисловие

9

Глава 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного

10

1.1. Понятие функции, предел функции

10

1.1.1.

Предел функции

10

1.1.2.

Теоремы о пределах

12

1.1.3.

Предел числовой последовательности

13

1.1.4.

Замечательные пределы

14

1.1.5.

Сложные проценты

17

1.2. Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых

18

1.3. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на

отрезке

24

1.3.1.

Точки разрыва

26

1.3.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке

27

1.4.

Производная функции

27

1.4.1.

Механический смысл производной

28

1.4.2.

Геометрический смысл производной

28

1.4.3.

Дифференцируемость функций

29

1.4.4.

Производные элементарных функций

30

1.4.5. Производная постоянной, суммы, произведения и частного

функций

32

1.4.6.

Производная сложной функции

34

1.4.7.

Производная неявной функции

35

1.4.8.

Логарифмическая производная

36

1.4.9.

Производная обратной функции

36

1.4.10. Производная функции, заданной параметрически

37

1.5.

Дифференциал

38

1.5.1.

Свойства дифференциала

39

1.5.2.

Дифференциал сложной функции

40

1.5.3.

Геометрический смысл дифференциала

40

3

1.5.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

41

1.6. Производные и дифференциалы высших порядков

42

1.6.1. Неинвариантность формы второго дифференциала

44

1.6.2. Высшие производные неявной и параметрической функций

44

1.7.

Приложение дифференциального исчисления

45

1.7.1.

Теоремы о среднем

45

1.7.2.

Правило Лопиталя

47

1.8.

Формула Тейлора

51

1.8.1. Разложение функций по формуле Маклорена

54

1.9. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций

57

1.9.1. Максимум и минимум функций

58

1.9.2.

Схема исследования функции на экстремум, возрастание и

убывание.

60

1.9.3.

Исследование функции на экстремум с помощью второй

производной

61

1.9.4.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

на отрезке

61

1.10. Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба

62

1.10.1.

Точки перегиба

64

1.11. Асимптоты кривой. Полное исследование функции

64

1.11.1.

Вертикальные асимптоты

64

1.11.2.

Наклонные асимптоты

65

1.11.3.

Полное исследование функции

67

Глава 2.

Неопределенный интеграл

72

2.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства

72

2.1.1.

Первообразная, ее свойства

72

2.1.2.

Неопределенный интеграл

72

2.1.3.

Свойства неопределенного интеграла

74

2.1.4.

Метод непосредственного интегрирования

75

2.1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле

76

2.1.6.

Интегрирование по частям

77

2.2.

Интегрирование рациональных функций

80

2.2.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

81

2.2.2.

Интегрирование рациональных дробей

83

2.2.3.

Метод неопределенных коэффициентов

84

2.2.4. Схема интегрирования рациональной дроби

86

2.3.

Интегрирование тригонометрических выражений

88

2.4.

Интегрирование иррациональных функций

92

4

Глава 3. Определенный интеграл и его приложения. Несобственный

интеграл

99

3.1. Понятие определенного интеграла, основные свойства

определенного интеграла

99

3.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

99

3.1.2.

Понятие определенного интеграла

100

3.1.3. Основные свойства определенного интеграла

101

3.2.

Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в

определенном интеграле. Интегрирование по частям.

104

3.2.1.

Формула Ньютона-Лейбница

107

3.2.2. Замена переменной в определенном интеграле

108

3.2.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

110

3.3.

Приложения определенного интеграла

111

3.3.1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной

системе координат

111

3.3.2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой,

заданной в параметрической форме

113

3.3.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе

координат

114

3.3.4.

Длина дуги кривой

115

3.3.5. Вычисление объема тел по площадям параллельных сечений119

3.4. Несобственные интегралы

121

3.4.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

интегрирования

121

3.4.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции

125

Глава 4. Функции нескольких переменных

128

4.1. Понятие функции нескольких переменных, предел функции

нескольких переменных

128

4.1.1. Геометрическое изображение функции 2-хпеременных

129

4.1.2. Частное и полное приращения функции нескольких

переменных

129

4.1.3. Предел функции нескольких переменных

130

4.1.4. Непрерывность функции нескольких переменных

131

4.1.5. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной

области

131

4.2. Частные производные функции нескольких переменных

132

4.2.1. Геометрическая интерпретация частных производных

133

4.2.2. Полный дифференциал функции нескольких переменных

133

5

4.3. Производная сложной функции нескольких переменных

135

4.3.1. Полная производная функции нескольких переменных

136

4.4. Частные производные высших порядков

137

4.4.1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких

переменных

140

4.5.

Приложения дифференциального исчисления функций

нескольких переменных

143

4.5.1.

Производная по направлению

143

4.5.2.

Градиент функции

144

4.5.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

146

4.6. Локальный экстремум функции нескольких переменных

148

4.7. Условный экстремум функции нескольких переменных

151

4.7.1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

в замкнутой ограниченной области

155

4.8.

Получение функции на основе экспериментальных данных по

методу наименьших квадратов

157

4.8.1.

Метод наименьших квадратов

157

Глава 5. Кратный интеграл и его приложения

161

5.1. Двойной интеграл и его свойства

161

5.1.1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла

161

5.1.2.

Понятие двойного интеграла

162

5.1.3.

Свойства двойных интегралов

163

5.1.4.

Вычисление двойного интеграла

164

5.2.

Приложения двойного интеграла

168

5.2.1.

Объем тела

168

5.2.2.

Площадь плоской фигуры

170

5.2.3. Замена переменных в двойном интеграле

171

5.2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат

174

5.3.

Тройной интеграл

176

5.3.1.

Свойства тройного интеграла

178

5.3.2. Замена переменных в тройном интеграле

180

5.3.3.

Цилиндрические координаты

181

5.3.4.

Сферические координаты

181

5.4.

n-мерныеинтегралы

183

5.5. Кривые и поверхности второго порядка

184

5.5.1.

Кривые второго порядка

185

5.5.2.

Поверхности второго порядка

186

6

Глава 6.

Дифференциальные уравнения

191

6.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

191

6.1.1.

Задачи, приводящие к понятию дифференциальных

уравнений

191

6.1.2.

Основные понятия

191

6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

192

6.3.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

194

6.3.1.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с

разделяющимися переменными

197

6.4.

Однородные уравнения

198

6.4.1.

Решение однородного уравнения

198

6.4.2. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным

200

6.5. Линейные дифференциальные уравнения превого порядка

201

6.5.1. Метод подстановки решения линейного уравнения

202

6.5.2. Метод вариации решения линейного уравнения

202

6.6.

Дифференциальное уравнение Бернулли

204

6.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

206

6.8. Дифференциальные уравнения второго порядка

209

6.9. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

понижение порядка

211

6.10.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами

215

6.10.1. Структура общего решения однородного уравнения

216

6.10.2. Решение однородного уравнения второго порядка

218

6.10.3.

Решение линейных однородных дифференциальных

уравнений n-гопорядка с постоянными

коэффициентами

221

6.11.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

222

6.12.

Метод вариации произвольных постоянных решения

неоднородного линейного уравнения второго порядка

224

6.13.Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного уравнения со специальной правой

частью

225

6.14. Решение систем обыкновенных дифференциальных

уравнений

231

6.14.1. Системы однородных линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

234

7

Глава 7.

Ряды

240

7.1.

Числовые ряды

240

7.1.1.

Действия над рядами

241

7.1.2. Необходимый признак сходимости ряда

243

7.2. Числовые ряды с положительными членами

244

7.2.1.

Признак Даламбера

246

7.2.2.

Признак Коши

249

7.2.3. Интегральный признак сходимости числового ряда

250

7.3.

Знакопеременные числовые ряды

251

7.3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

252

7.4.

Функциональные ряды

254

7.4.1. Свойства равномерно сходящихся рядов на отрезке

256

7.5.

Степенные ряды

259

7.6.

Ряд Тейлора

263

7.6.1. Разложение функций в ряд Маклорена

265

7.7. Применение рядов в приближенных вычислениях

270

7.7.1. Применение рядов к приближенному вычислению значения

функции

270

7.7.2. Приближенное вычисление определенных интегралов

270

7.7.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

272

Список обозначений и сокращений

274

Литература

275

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие представляет собой достаточно сжатый курс лекций по математическому анализу. Хотя в него входят почти все темы стандартного курса, излагаются они в сокращенном виде. Основные понятия и теоремы, тем не менее, даются с доказательствами. В пособии рассматривается большое количество примеров и задач, способствующих усвоению материала. Изложение материала рассчитано на достаточно малое количество часов в курсе математического анализа. Поэтому это пособие может быть полезно при изучении этого курса и другими специальностями ВУЗов, например, биологами, химиками, психологами и т.д

Это учебное пособие состоит из семи глав. В первую главу вошли понятия функции, предела функции, непрерывности, а также дифференциальное исчисление функции одного переменного и его приложения к исследованию функций. Во второй и третьей главах излагаются основы интегрального исчисления. Даются основные приемы интегрирования, а также определенный интеграл и его приложения и несобственный интеграл. Четвертая глава посвящена функциям нескольких переменных: частные производные, дифференциал, производная по направлению, локальный и условный экстремум, метод наименьших квадратов. В пятой главе рассматривается кратный интеграл и его приложения. В шестой главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Седьмая глава посвящена изучению числовых и степенных рядов.

9

Глава 1

Дифференциальное исчисление функций одного переменного

1.1. Понятие функции, предел функции

Напомним понятия интервала и отрезка на числовой прямой R.

Определение 1.1.1. Интервалом(a; b) называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами a и b(a < b), при этом сами эти числа не принадлежат рассматриваемому множеству чисел.

Определение 1.1.2. Отрезком[a; b] называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами a и b(a6 b), причем оба числа a; b принадлежат рассматриваемому множеству чисел.

Определение 1.1.3. Окрестностью U(a) точки a 2R называется произвольный интервал, содержащий эту точку.

Сформулируем определение понятия числовой функции.

Определение 1.1.4. Если каждой точке x, принадлежащей некоторому множеству D изR соответствует одно значение y 2R, то говорят, что y есть функция от x и обозначают y= f(x).

Определение 1.1.5. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве D ½R, если существует константа M такая, что jf(x)j < M для любого x 2 D:

1.1.1. Предел функции

Пусть функция y =f(x) определена в некоторой окрестностиU(a) точкиa 2 R (за исключением может быть самой точкиa).

10

studfiles.net

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - это... Что такое МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ?

dic.academic.ru


Смотрите также